Bei Kriegsende flüchtete die Familie nach Tegernsee in Bayern, wo Horst Teltschik auch das Gymnasium besuchte und 1960 das Abitur ablegte. Danach leistete er bis 1962 seinen Wehrdienst ab. Von 1962 bis 1967 studierte er an der FU Berlin Politische Wissenschaft, Neuere Geschichte und Völkerrecht. 1967 schloss er das Studium mit einer Diplomarbeit über den chinesisch-sowjetischen Konflikt ab. Daneben engagierte er sich im Ring Christlich-Demokratischer Studenten (RCDS). In den Jahren von 1968 bis 1970 arbeitete er als Hochschulassistent von Richard Löwenthal am Otto-Suhr-Institut der FU Berlin. Im Jahre 1970 wurde Teltschik Leiter der Gruppe Aussen- und Deutschlandpolitik in der CDU-Bundesgeschäftsstelle in Bonn. 1972 machte ihn Helmut Kohl zum Referenten im Range eines Leitenden Ministerialrats in der Staatskanzlei von Rheinland-Pfalz. Von 1977 bis 1982 leitete Horst Teltschik das Büro des Vorsitzenden der CDU/CSU-Fraktion im Bundestag. Im Oktober 1982 übernahm er nach dem Machtwechsel in Bonn als Ministerialdirektor im Bundeskanzleramt die Leitung der Abteilung Auswärtige und Innerdeutsche Beziehungen, Entwicklungspolitik, Äussere Sicherheit. 1985 war Teltschik Leiter der Bonner SDI-Delegation in den USA. Im Januar 1989 ernannte ihn Bundeskanzler Kohl zum Sonderbeauftragten für die Verhandlungen mit Polen. In dieser Funktion war er massgeblich an den Verhandlungen zur Grenzöffnung beteiligt. Nach der Bundestagswahl 1990 wechselte Tetschik in die Privatwirtschaft. Im Januar 1991 übernahm er die Geschäftsführung der Bertelsmann-Stiftung, wechselte aber zwei Jahre später in den Vorstand der BMW AG in München, wo er noch tätig ist.